Tính tổng các giá trị của tham số m để phương trình x^3 - 7x^2 + 2(m^2 + 6m)x - 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: \( - 6.\)

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân. Ta có

\({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3}),\forall m \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow {x_1}{x_2}{x_3} = 8.\)

Theo tính chất của cấp số nhân \({x_1}{x_3} = x_2^2\). Suy ra \(x_2^3 = 8 \Rightarrow {x_2} = 2.\)

Thay nghiệm \(x = {x_2} = 2\) vào phương trình đã cho, ta có

\(8 - 28 + 2\left( {{m^2} + 6m} \right) \cdot 2 - 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m - 28 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 7}\end{array}} \right.\)

Thử lại với các giá trị \(m\) tìm được.

Với \(m = 1\), ta có phương trình:

\({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \)\[\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\;\left( {TM} \right)\\x = 1\end{array} \right.\\\end{array}\]

Với \(m = - 7\), ta có phương trình:

\({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \)\[\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\;\left( {TM} \right)\\x = 1\end{array} \right.\\\end{array}\]

Suy ra \(m = 1;m = - 7\) là các giá trị cần tìm.

Tổng các giá trị của \(m\) là \( - 6\).

Đáp án cần điền là: \( - 6\)