Tính tổng biểu thức sau S = (1/2 − 1/3) + (1/4 − 1/9) + (1/8 − 1/27) + ... + (1/2^n − 1/3^n) + …

14/25

Tính tổng S = \(\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{27}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\)+…

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{3}{2}\).

\(\frac{5}{6}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có thể tách S thành hiệu của hai tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

S = \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...} \right) - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...} \right)\)

Tổng thứ nhất có u₁ = \(\frac{1}{2}\), q₁ = \(\frac{1}{2}\) nên S₁ = \(\frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\) = 1.

Tổng thứ hai có u₂ = \(\frac{1}{3}\), q₂ = \(\frac{1}{3}\) nên S₂ = \(\frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\).

Vậy S = S₁ - S₂ = 1 - \[\frac{1}{2}\] = \[\frac{1}{2}\].