Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm t = 18 giờ (đơn vị tính theo mét trên giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
18/22
Cho một bể chứa nước có hình dạng là một lăng trụ đứng \(AEFB.DHGC\). Mặt đáy của lăng trụ là hình thang vuông \(AEFB\)(vuông tại \(A\) và \(E\)). Biết rằng chiều dài của bể \(AD = 12m\), chiều rộng của mặt bể \(AB = 6m\), chiều rộng của đáy bể \(EF = 3m\) và chiều cao của bể \(AE = 4m\). Bể được bơm nước vào với lưu lượng không đổi \(P = 4{m^3}\)/giờ. Giả sử mặt nước \(\left( {IKJL} \right)\) luôn song song với mặt đáy \(\left( {HGFE} \right)\) của bể (tham khảo hình vẽ).
Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm \(t = 18\)giờ (đơn vị tính theo mét trên giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,08
Gọi \(M = AE \cap BF\).
Dễ thấy \(\Delta MEF\) đồng dạng với \(\Delta MAB\) nên \(\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{EF}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow ME = \frac{1}{2}MA\).
Suy ra \(E\) là trung điểm \(MA\) \( \Rightarrow ME = 4\).
Gọi \(h = LE\) (đơn vị : mét) là chiều cao của mực nước \((h > 0)\).
\[\frac{{ML}}{{MA}} = \frac{{LJ}}{{AB}} \Leftrightarrow LJ = \frac{{ML.AB}}{{MA}} = \frac{{\left( {ME + LE} \right).AB}}{{MA}} = \frac{{\left( {4 + h} \right).6}}{8} = \frac{3}{4}\left( {4 + h} \right) = 3 + \frac{3}{4}h\].
Thể tích nước: \[V = {S_{LEFJ}}.AD = \frac{{LJ + EF}}{2}.LE.AD = \frac{{3 + \frac{3}{4}h + 3}}{2}.h.12 = \frac{9}{2}{h^2} + 36h\left( {{m^3}} \right)\]
Thể tích nước đã bơm sau thời gian \(t\)(giờ): \(V = P.t = 4t\)
Suy ra :\(\frac{9}{2}{h^2} + 36h = 4t\).
Đạo hàm hai vế theo \(t\) ta được: \(\left( {9h + 36} \right).h' = 4\).
Tốc độ nước dâng là: \(h' = \frac{4}{{9h + 36}}\).
Thể tích nước đã bơm sau thời gian 18 (giờ): \(\frac{9}{2}{h^2} + 36h = 4.18 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = - 4 + 4\sqrt 2 \\h = - 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\).
Mà \(h > 0\) nên \(h = - 4 + 4\sqrt 2 \).
Tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm \(t = 18\)giờ là \(h' = \frac{4}{{9h + 36}} \approx 0,08\left( {m/h} \right)\).