Tính tích phân I = tích phân từ ln2 đến ln5 e^2x / căn bậc hai của e x − 1 d x bằng phương pháp đổi biến số u = căn bậc hai của e x − 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

7/29

Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx\] bằng phương pháp đổi biến số \[u = \sqrt {{e^x} - 1} \]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

\[I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]

\[I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]

\[I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]

\[I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]

Giải thích

Đặt\[u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\] và\[{e^x} = {u^2} + 1\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = ln2 \Rightarrow u = 1}\\{x = ln5 \Rightarrow u = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có

\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx = 2\int\limits_1^2 {\frac{{({u^2} + 1)udu}}{u}} } = 2\int\limits_1^2 {({u^2} + 1)du} = = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C