Tính tích phân I = tích phân1^4 (f(x) + g(x))dx

28/35

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\{g\left( x \right) = - xf'\left( x \right)}\\{f\left( x \right) = - xg'\left( x \right)}\end{array}} \right.\) với mọi \(x \in \left[ {1;4} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \).

\(3\ln 2\).

\(4\ln 2\).

\(6\ln 2\).

\(8\ln 2\).

Giải thích

Lời giải

Từ giả thiết ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = - xf'\left( x \right) - xg'\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right) + xf'\left( x \right)} \right] + \left[ {g\left( x \right) + xg'\left( x \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^\prime } + {\left[ {xg\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)

\[ \Rightarrow xf\left( x \right) + xg\left( x \right) = C \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{C}{x}\].

Mà \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^4 {\frac{4}{x}} \,{\rm{d}}x = 8\ln 2\). Chọn D.