Tính tỉ số S 1/S 2
34/34
Cho các hàm số
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) và \(g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px + q\)\(\left( {a,b,c,d,m,n,p,q \in \mathbb{R}} \right)\).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 4;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}4\) và \(f\left( 2 \right) = 2;{\rm{ }}g\left( 2 \right) = - 3\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = - 4;{\rm{ }}x = - 1\). Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = - 1;{\rm{ }}x = 4\). Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,26.
Vì \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 4;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}4\).
Nên ta đặt hàm \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = k\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)\) (*).
Ta có \(f\left( 2 \right) = 2,{\rm{ }}g\left( 2 \right) = - 3\).
Thay \(x = 2\) vào (*) ta được \(f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = k \cdot 6 \cdot 3 \cdot \left( { - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2 - \left( { - 3} \right) = k \cdot \left( { - 36} \right) \Leftrightarrow k = \frac{{ - 5}}{{36}}\).
Suy ra \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)\).
Khi đó, \({S_1} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left| { - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{65}}{{16}}\);
\({S_2} = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| { - \frac{5}{{36}}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{6875}}{{432}}\).
Vậy tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{351}}{{1375}} \approx 0,26\).