Tính tỉ số A/B biết biểu thức: A = 1/2 +1/3 + ... +1/2023+ 1/2024 và biểu thức B = 2023/1+ 2022/2+ 2021/3 + ... +2/2022 + 1/2023

Với \(n \ne 3\) ta có:

\(A = \frac{{2n + 1}}{{n - 3}} + \frac{{3n - 5}}{{n - 3}} - \frac{{4n - 5}}{{n - 3}}\)

   \( = \frac{{2n + 1 + 3n - 5 - \left( {4n - 5} \right)}}{{n - 3}}\)

   \( = \frac{{n + 1}}{{n - 3}}\)

   \( = \frac{{n - 3 + 4}}{{n - 3}} = 1 + \frac{4}{{n - 3}}\)

Với \(n \in \mathbb{Z},n \ne 3\), để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(4 \vdots \left( {n - 3} \right)\)

Tức là \(\left( {n - 3} \right) \in U\left( 4 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Ta thấy tất cả các giá trị n tìm được ở trên đều thỏa mãn điều kiện \(n \in \mathbb{Z},n \ne 3\).

Vậy giá trị \(n\) cần tìm là \(n \in \left\{ {4;2;5;1;7; - 1} \right\}\).

Ta có:

\(B = \frac{{2023}}{1} + \frac{{2022}}{2} + \frac{{2021}}{3} + ... + \frac{2}{{2022}} + \frac{1}{{2023}}\)

\(B = 1 + \left( {\frac{{2022}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2021}}{3} + 1} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{2022}} + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{2023}} + 1} \right)\)

\(B = 1 + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2024}}{3} + ... + \frac{{2024}}{{2023}}\)

\(B = \frac{{2024}}{2} + \frac{{2024}}{3} + ... + \frac{{2024}}{{2023}} + 1\)

\(B = \frac{{2024}}{2} + \frac{{2024}}{3} + ... + \frac{{2024}}{{2023}} + \frac{{2024}}{{2024}}\)

\(B = 2024.\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2024}}} \right)\)

\(B = 2024A\)

Suy ra, \(\frac{A}{B} = \frac{1}{{2024}}\).