Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D. Biết rằng mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60 độ, A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30 độ và AA' = a căn bậc hai 3

55/78

Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết rằng mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] hợp với đáy \[\left( {ABCD} \right)\] một góc \[60^\circ \], \[A'C\] hợp với đáy \[\left( {ABCD} \right)\] một góc \[30^\circ \] và \[AA' = a\sqrt 3 .\]

\(V = 2{a^3}\sqrt 6 \).

\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

\[V = 2{a^3}\sqrt 2 \].

\(V = {a^3}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D. Biết rằng mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60 độ, A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30 độ và AA' = a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(A'C\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là AC.

Do đó \(\widehat {A'CA} = 30^\circ \).

Vì \[BC \bot AB,BC \bot BB'\] nên \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot A'B\).

Do đó góc giữa mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] là \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)

Tam giác vuông \(A'AB\), có \(AB = \frac{{AA'}}{{\tan \widehat {A'BA}}} = a\).

Tam giác vuông \(A'AC\), có \(AC = \frac{{AA'}}{{\tan \widehat {A'CA}}} = 3a\).

Tam giác vuông \(ABC\),có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2a\sqrt 2 \).

Diện tích hình chữ nhật \({S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}\sqrt 6 .\)