Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = căn bậc hai (e^x − x), y = 0, x = 1, x = 2 xung quanh trục Ox là:

5/22

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = \sqrt {{e^x} - x} ,\)\(y = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2\) xung quanh trục Ox là:

\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).

\({e^2} - e - \frac{5}{2}\).

\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{5}{2}} \right)\).

\({e^2} - e - \frac{3}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Hàm số \(y = \sqrt {{e^x} - x} \) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) nên thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {{e^x} - x} ,\)\(y = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2\) xung quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt {{e^x} - x} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{e^x} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2\)\( = \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2}{{.1}^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).