Tính thể tích V ( d m 3 ) của khối lăng trụ A B C . A ′ B ′ C ′

Đáp số: 1,15.

 

Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\], \[H\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Ta có \[A'H \bot \left( {ABC} \right)\].

Dựng \[Ax{\rm{//}}BC\] suy ra \[BM \cap Ax = \left\{ E \right\} \Rightarrow BC{\rm{//}}\left( {A'AE} \right)\]

\[ \Leftrightarrow d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {BC,\left( {A'Ax} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right)\].

Mà \[\frac{{d\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{BE}}{{HE}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right) = \frac{2}{3}\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\].

Dựng \[HK \bot A'A\], dễ dàng chứng minh được \[HK \bot \left( {A'AE} \right)\] suy ra \[d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right) = HK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

Ta có \[AH = \frac{2}{3}.\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{{A'}^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{{A'}^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{{A'}^2}}} = \frac{9}{4}\]\[ \Rightarrow HA' = \frac{2}{3}\].

Vậy thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:

\[V = HA' \cdot {S_{ABC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{2^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right) \approx 1,15\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\].