Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] và tổng diện tích các mặt bên bằng \[3{a^2}.\]

34/50

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Giải thích

Xét khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều và \[AA' \bot \left( {ABC} \right).\]

$Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] và tổng diện tích các mặt bên bằng \[3{a^2}.\] (ảnh 1)$

Diện tích xung quanh lăng trụ là \[{S_{xq}} = 3 \cdot {S_{ABB'A'}}\]

\[ \Leftrightarrow 3{a^2} = 3 \cdot \left( {AA' \cdot AB} \right) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3 \cdot \left( {AA' \cdot a} \right) \Rightarrow AA' = a.\]

Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]

Vậy thể tích khối lăng trụ là \[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\]. Chọn D.