Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa hai mặt phẳng và bằng với Thể tích khối chóp đã cho bằng (ảnh 1)

Đặt AD=x với x>0.

Trong mặt phẳng SAC: kẻ AH⊥SB tại H; trong mặt phẳng SAD, kẻ AK⊥SD tại K.

Dễ dàng chứng minh được AH⊥SBC, AK⊥SCD và H là trung điểm của SB.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có: A0;0;0,Ba;0;0,S0;0;a,D0;x;0,Ha2;0;a2

Suy ra: SD→=0;x;−a,AS→=0;0;a,AH→=a2;0;a2.

Trong tam giác SAD vuông tại A có

SA2=SK.SD⇔SKSD=SA2SD2=SA2SA2+AD2=a2a2+x2

⇒SK→=a2a2+x2SD→⇔AK→−AS→=a2a2+x2SD→

⇒AK→=a2a2+x2SD→+AS→⇔AK→=0;a2xa2+x2;ax2a2+x2.

Do AH→,AK→ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng SBC và SCD nên

cosφ=13⇔AH→.AK→AH→.AK→=13

⇔3AH→.AK→=AH→.AK→

⇔3.a2.ax2a2+x2=a22.a4x2a2+x22+a2x4a2+x22

⇔32.a2.x2a2+x2=22.a2xa2+x2.a2+x2⇔3x=2.a2+x2

⇔3x2=2a2+2x2⇔x2=2a2⇔x=a2=AD.

Thể tích khối chóp S.ABCD là V=13SA.AB.AD=13.a.a.a2=a323.

Chọn đáp án B.

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a chiều cao bằng 3a