Tính thể tích của khối tứ diện A'B'C'D'

Phương pháp giải:- Tứ diện A'B'C'D' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k=A'B'AB.

- Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD,ACD, gọi G=AM∩BN. Tính GA'GA=A'B'AB.

- Tính VA'B'C'D'VABCD=k3.

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V=a3212.

Giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy tứ diện A'B'C'D' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k=A'B'AB.

Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD,ACD ta có AM⊥BCD,BN⊥ACD.

Gọi G=AM∩BN.

Ta có G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD nên AGAM=34⇒AGAA'=38⇒GA'GA=53.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: GA'GA=A'B'AB=53=k

⇒VA'B'C'D'VABCD=k3=12527.

Mà ABCD là tứ diện đều cạnh 1 nên VABCD=212.

Vậy VA'B'C'D'=12537.212=1252324.