tính thể tích của khối (H) theo đơn vị centimét khối, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
32/35
Tuấn là một học sinh giỏi lớp 12, em rất thích học môn toán. Hôm ấy sau khi đã học xong phần Ứng dụng tích phân, Tuấn quyết định cắt chiếc nón mà người bố hay đội đi làm ruộng để nghiên cứu. Biết rằng hình nón này có bán kính đáy bằng \(20\,\,{\rm{cm}}\), thiết diện qua trục là một tam giác đều. Dù người bố hết sức ngăn cản nhưng Tuấn đã ra tay một cách dứt khoát, cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của hình nón để chia nó ra làm hai phần, phần nhỏ có dạng một hình nêm (H), tính thể tích của khối (H) theo đơn vị centimét khối, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Cắt hình nêm (H) bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một tam giác vuông ABC thay đổi như hình vẽ.
Thể tích khối (H) được tính theo công thức: \(V = \int\limits_{ - 20}^{20} {S\left( x \right){\rm{d}}x} \) với \(S\left( x \right) = {S_{\Delta ABC}}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC\).
Tam giác \(OAC\) vuông tại \(A\) nên: \(AC = \sqrt {{{20}^2} - {x^2}} \).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC = AC \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {{{20}^2} - {x^2}} }\\{AB = AC \cdot {\rm{sin}}60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt {{{20}^2} - {x^2}} }\end{array}} \right. \Rightarrow S\left( x \right) = {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{8} \cdot \left( {{r^2} - {x^2}} \right)\).
Do đó \[V = \int\limits_{ - 20}^{20} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\int\limits_{ - 20}^{20} {\left( {{{20}^2} - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{{20}^3}}}{{2\sqrt 3 }} \approx 2309\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].
Đáp án: 2309.