Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính thể tích khối chóp.

Lời giải

Ta có: \(SA = SB = SD = a\sqrt 6 \) và \(ABD\) đều như vậy suy ra hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABD\), gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABD \Rightarrow SH \bot \left( {ABD} \right)\).

Kẻ \(HF \bot CD,F \in CD\) suy ra \(SH \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SHF} \right)\) (F trùng D).

Kẻ tiếp \(HI \bot SF\) thì ta suy ra \(HI \bot \left( {SCD} \right)\) (do \(HI \bot CD \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HI)\).

\(HD = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{3a}}{{\sqrt 3 }} = a\sqrt 3 ;SH = \sqrt {S{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {6{a^2} - 3{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Ta có \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{2}\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{2} = \frac{{9{a^3}}}{2}\).