Tính thể tích của khối chóp đã cho.

12/22

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Tính thể tích của khối chóp đã cho.

\(\frac{{{a^3}}}{3}\).

a3.

\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\).

\(\frac{{{a^3}}}{2}\).

Giải thích

Tính thể tích của khối chóp đã cho. (ảnh 1)

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB).

Kẻ AH ^ SB mà AH ^ BC (do BC ^ (SAB)) Þ AH ^ (SBC).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét DSAB vuông tại A, đường cao AH, ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{2{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\).