Tính m + n ?

20/22

Cho \[\sin a + \cos a = \frac{1}{3}\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Biết \[A = \sin a - \cos a = - \frac{{\sqrt m }}{n}\] với m là số nguyên tố. Tính\[m + n\]?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \[{\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{9}\]\[ \Leftrightarrow \sin a\cos a = - \frac{4}{9}\].

Ta có \[{\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = 1 - 2\sin a\cos a = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}\].

Do \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\] nên \[\sin a < 0,\cos a > 0\]\[ \Rightarrow \]\[A = \sin a - \cos a < 0\]\[ \Rightarrow \]\[A = - \sqrt {\frac{{17}}{9}} = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\].

Vậy \[m + n = 17 + 3 = 20\].

Đáp án:20.