Xét hàm số f(x) trên đoạn 0;2π, khi đó:

fx=sinx khi x∈0;π2∪3π2;2π1+cosx khi x∈π2;3π2

Ta có limx→0+fx=0=f0; limx→2π−fx=0=f2π.

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;π2; π2;3π2 và 3π2;2π.

Ta xét tại x=π2:

limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1;limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1; fπ2=1

Như vậy limx→π2−fx=limx→π2+fx=fπ2nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x=π2

Ta xét tại x=3π2:

limx→3π2+fx=limx→3π2+sinx=−1 ; limx→3π2−fx=limx→3π2−1+cosx=1;

Vì limx→3π2−fx≠limx→3π2+fx nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x=3π2

Do đó, trên đoạn 0;2π hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x=3π2

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π,k∈ℤ

Ta có x∈0;2021⇔0<3π2+k2π<2021⇔−34<k<20212π−34≈320.902

Vì k∈ℤ nên k∈0,1,2,....,320

Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π với k∈0,1,2,....,320.

Tính M = lim x tiến đến âm vô cùng (x^4+x+3)