Tính lim un. (nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản)

93/235

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 24 đến 25.

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi công thức \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1,}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{3^n}}},\quad n \ge 1.}\end{array}} \right.\]

Tính \(\lim {u_n}\). (nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản)

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải:

Tính giới hạn dãy số.

Giải chi tiết:

\[{v_1} = {u_2} - {u_1},{v_2} = {u_3} - {u_2}.\]

Suy ra

\[{v_1} + {v_2} + \cdots + {v_n} = {u_{n + 1}} - {u_1}.\]

Mà \[{v_1} + {v_2} + \cdots + {v_n} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right),\quad {u_1} = 1.\]

Do đó

\[{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 1 \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{{\kern 1pt} n - 1}}}}} \right) + 1.\]

Khi \(n \to + \infty \):

\[\lim {u_n} = \lim \left[ {\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{{\kern 1pt} n - 1}}}}} \right) + 1} \right] = \frac{3}{2}.\]