Tính lim n → + ∞ ( 1 u 1 ⋅ u 2 + 1 u 2 ⋅ u 3 + … + 1 u n − 1 ⋅ u n ) ta được kết quả là:

71/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 70 đến 71

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{u_2^2 - 6{u_2} + 5 = 0}\end{array}} \right.\) và có công sai \(d > 0\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{u_1} \cdot {u_2}}} + \frac{1}{{{u_2} \cdot {u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{n - 1}} \cdot {u_n}}}} \right)\) ta được kết quả là:

\(\frac{1}{6}\).

\( + \infty \).

Giải thích

Ta có \(\frac{1}{{{u_1} \cdot {u_2}}} + \frac{1}{{{u_2} \cdot {u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{n - 1}} \cdot {u_n}}} = \frac{1}{{2 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 8}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{n - 1}}\left( {{u_{n - 1}} + 3} \right)}}\)

\( = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 3}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3}}} \right)\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{u_1} \cdot {u_2}}} + \frac{1}{{{u_2} \cdot {u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{n - 1}} \cdot {u_n}}}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3}}} \right)} \right] = \frac{1}{6}\). Chọn B.