Tính khoảng cách từ điểm B và mặt phẳng ( SCD ) ?

22/50

Tính khoảng cách từ điểm $B$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$?

$\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}$.

$\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.

$\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}$.

$\frac{{a\sqrt {66} }}{{66}}$.

Giải thích

$Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{ (ảnh 1)$

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA}\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right.$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)} \right.$.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Vì $\Delta ACD$ đều $ \Rightarrow AM \bot CD$.

Có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{CD \bot SA}\\{SA,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$ kẻ $AK \bot SM$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot CD}\\{CD,SM \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)} \right.$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK$.

Vì $AM$ là đường cao trong $\Delta ACD$ đều $ \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường cao

$ \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$. Chọn B.