Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

99/120

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^ \circ }\).

Tính khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng (SBD).

\(\frac{1}{{\sqrt 7 }}a\)

\(\frac{4}{{\sqrt 7 }}a\).

\(\frac{1}{{\sqrt 5 }}a\).

\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}a\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đưa về khoảng cách từ A.

Lời giải

Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). (ảnh 1)

Ta có: \(SA \bot BD\); Kẻ \(AK \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right)\).

Kẻ \(AN \bot SK \Rightarrow AN \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A,SBD} \right) = AN\)

Xét \({\rm{\Delta }}SAK \bot A\) có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA = a\sqrt 2 }\\{AK = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AN = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}a\)

Ta có \(d\left( {A,SBD} \right) = 2d\left( {C,SBD} \right) \Rightarrow d\left( {C,SBD} \right) = \frac{1}{{\sqrt 7 }}a\)