Tính giới hạn: lim (3^n - 5.6^n + 1)/(6^n + 2.5^n)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \({6^n}\) (cơ số lớn nhất):

\({\rm{lim\;}}\frac{{{3^n} - 5 \cdot {6^n} + 1}}{{{6^n} + 2 \cdot {5^n}}} = {\rm{lim\;}}\frac{{\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} - 5 \cdot \frac{{{6^n}}}{{{6^n}}} + \frac{1}{{{6^n}}}}}{{\frac{{{6^n}}}{{{6^n}}} + 2 \cdot \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}}} = {\rm{lim\;}}\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5 + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n}}}{{1 + 2 \cdot {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}}}\).

Vì \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\), \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} = 0\) và \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 0\) (do các cơ số đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1), ta được:

\(\lim \frac{{{3^n} - 5 \cdot {6^n} + 1}}{{{6^n} + 2 \cdot {5^n}}}\)\( = \frac{{0 - 5 + 0}}{{1 + 2 \cdot 0}} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5\).