Tính giới hạn lim [ 1/ 1.3 + 1/ 2.4 + . . . . + 1 /n ( n + 2 ) ] (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,75

Ta có: \[\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}\]

       \[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\]

       \[ = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]

       \[ = \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n}} \right) - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]

       \[ = \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]

       \[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)\].

Do đó, \[\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\].