a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Ta có \(f\left( 7 \right) = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2} - 2}} = - 45\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2} - 2}} = - 45 = f\left( 7 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 7 với mọi m.

c) Ta có f(0) = m.0 + 8 = 8.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {mx + 8} \right) = 2.0 + 8 = 8 = f\left( 2 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 0 với mọi m.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {4 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\left( { - x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)} \right]\)

\( = \left( { - 2 - 2} \right)\left( {\sqrt {2 + 2} + 2} \right) = - 16\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx + 8} \right) = 2m + 8 = f\left( 2 \right)\).

Do đó để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) Û 2m + 8 = −16

Û m = −12.

Vậy m = −12 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Tính giới hạn I = lim x → − ∞ 3 x − 2 2 x + 1 .