Tính giới hạn của dãy số:

77/235

Tính giới hạn của dãy số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1},{u_2} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 2\)

\({\rm{lim}}{u_n} = \frac{1}{2}\).

\({\rm{lim}}{u_n} = + \infty \).

\({\rm{lim}}{u_n} = \frac{{ - 1}}{2}\).

\({\rm{lim}}{u_n} = - \infty \)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng truy hồi để xác định số hạng tổng quát

Lời giải

Ta sẽ chứng minh công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {(n - 1)^2} + 1\)

Hiển nhiên công thức đúng với \(n = 1;n = 2\)

Giả sử công thức đúng với \(n = k - 1,n = k\)

\( \Rightarrow {u_{k - 1}} = {(k - 2)^2} + 1,{u_k} = {(k - 1)^2} + 1\)

Khi đó:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} - {u_{k - 1}} + 2 = 2\left[ {{{(k - 1)}^2} + 1} \right] - \left[ {{{(k - 2)}^2} + 1} \right] + 2 = {k^2} + 1 = {[\left( {k + 1} \right) - 1]^2} + 1\)

Vậy công thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = {(n - 1)^2} + 1\)

\( \Rightarrow {\rm{lim}}\left[ {{{(n - 1)}^2} + 1} \right] = + \infty \)