Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: d) D = | 2 x − 1 | + | 2 x − 5 | .

d) \(D = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|\)

Ta có: \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right| = \left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge \left| {2x - 1 + 5 - 2x} \right|\)

Suy ra \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge 4\) hay \(D \ge 4\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.\) hay \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge \frac{5}{2}\end{array} \right.\) (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = 4\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).