Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.\(I(1) = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = 0,5 + 0,5 = 1\).

b) Đúng. Khi m ≤ 0 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≥ 0.

c) Đúng. Khi m ≥ 2 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≤ 0.

d) Sai. Ta xét các trường hợp của tham số m để tìm giá trị nhỏ nhất của \(I(m)\):

- Trường hợp 1: m ≤ 0.

Theo câu b, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_0^2 = 2 - 2m\). Vì m ≤ 0 nên I(m) ≥ 2.

- Trường hợp 2: m ≥ 2. Theo câu c, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {m - x} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2m - 2\).

Vì m ≥ 2 nên I(m) ≥ 2.

- Trường hợp 3: 0 < m < 2. Tích phân được tách thành hai phần:

\(I(m) = \int_0^m {\left( {m - x} \right)} dx + \int_m^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_m^2\)

\( = \left( {{m^2} - \frac{{{m^2}}}{2}} \right) + \left( {\left( {2 - 2m} \right) - \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - {m^2}} \right)} \right) = \frac{{{m^2}}}{2} + 2 - 2m + \frac{{{m^2}}}{2} = {m^2} - 2m + 2\)

Ta biến đổi: \(I(m) = {m^2} - 2m + 1 + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(m = 1\).

So sánh ba trường hợp, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(I(m)\) là 1, đạt được khi \(m = 1\). Do đó mệnh đề d là sai.

Tính giá trị của tích phân I = 0 ∫ 1 |2x - 2| dx