Tính giá trị của biểu thức T = M + m .
20/22
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = M + m\).
Ta có \(h'\left( x \right) = 3 \cdot \frac{1}{{x\ln 2}} \cdot \le f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + 3{x^2} - 18x + 15\).
Với \(x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow - 1 < {\log _2}x - 1 < 1 \Rightarrow f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) < 0 \Rightarrow 3 \cdot \frac{1}{{x\ln 2}} \cdot f'\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) < 0\).
Và \(3{x^2} - 18x + 15 \le 0,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow h'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\).
Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;4} \right]\).
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} h\left( x \right) = h\left( 4 \right) = - 13;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = 20 \Rightarrow T = 7\).
Đáp án: \(7\).