Tính giá trị của biểu thức T = 6 a^2 + 7 b^2 .

Đáp số: \(13\).

Gọi \[M\left( {a;\frac{{2a + 1}}{{a + 2}}} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\,\,\,\left( C \right)\], khoảng cách từ \[M\] đến \[d\] nhỏ nhất khi \[M\] là tiếp điểm của tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = 3x + 6\].

Ta có \[y'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]. Do đó \[y'\left( a \right) = \frac{3}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 1}\\{a =  - 3}\end{array}} \right.\].

\[ \Rightarrow {M_1}\left( { - 1\,; - 1} \right),\,\,{M_2}\left( { - 3\,;5} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d\left( {{M_1},d} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}}\\{d\left( {{M_1},d} \right) = \frac{8}{{\sqrt {10} }}}\end{array}} \right.\].

Vậy \[\min d\left( {M,d} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\] khi \[M\left( { - 1; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \]\[a = b =  - 1\]\[ \Rightarrow \]\[T = 6{a^2} + 7{b^2} = 13\].