Tính giá trị của biểu thức: Q = (3x^3 − x^2 − 1)^2020 khi x = (căn bậc ba của 26 + 15 căn bậc hai của 3)(2 − căn bậc hai của 3)(căn bậc ba của 9 + căn bậc hai của 80 + căn bậc ba của 9 − căn

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Xét \(a = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)\( = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\)

Suy ra \[{a^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3}\]

               \[ = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 + 3\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\]

               \[ = 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.a\]

               = 18 + 3a

Suy ra a³ – 3a – 18 = 0

          (a – 3)(a² + 3a + 6) = 0

Vì \[{a^2} + 3a + 6 = {\left( {a + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\], do đó a – 3 = 0 nên a = 3.

Do đó, \(x = \frac{{\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^3}}}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{3} = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{3} = \frac{1}{3}\).

Do đó, \(Q = {\left( {3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1} \right)^{2020}} = {\left( {\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - 1} \right)^{2020}} = 1.\)