Tính giá trị của biểu thức P = −−→ A M ⋅ −−→ B M .

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .\)

Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}}  = 4.\)

\(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)\)\( = \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3  \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ  + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) =  - 2.\)

Đáp án: −2.