Tính giá trị của biểu thức A

Đáp án: 1

Vì \(ab + bc + ca = 1\) nên \(1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2}\)             

                                               \( = \left( {ab + {a^2}} \right) + \left( {bc + ca} \right)\)

                                               \( = a\left( {b + a} \right) + c\left( {b + a} \right)\)

                                               \( = \left( {a + c} \right)\left( {b + a} \right)\). (1)

Tương tự, \(1 + {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\) (2)

                 \(1 + {c^2} = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + a} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

                                  \(A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + c} \right)}^2} \cdot {{\left( {a + c} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + a} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 1.\)