Tính giá trị của biểu thức a + b biết lim khi n → dương vô cùng của [(4n^2 + 3n + 1)/(n + 2) − (an + b)] = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –1

\(\frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)}} - \left( {an + b} \right)\) \( = \frac{{4{n^2} + 3n + 1 - \left( {an + b} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n + 2}}\)

\[ = \frac{{4{n^2} + 3n + 1 - a{n^2} - 2an - bn - 2b}}{{n + 2}}\] \( = \frac{{\left( {4 - a} \right){n^2} + \left( {3 - 2a - b} \right)n + 1 - 2b}}{{n + 2}}\)

Để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)}} - \left( {an + b} \right)} \right] = 0\) thì bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của mẫu số (mẫu số bậc 1). Do đó hệ số của n² và n trên tử phải bằng 0.

Suy ra 4 – a = 0 (tức là a = 4) và 3 – 2a – b = 0.

Thay a = 4 vào phương trình thứ hai ta được: 3 – 8 – b = 0, suy ra b = –5.

Vậy a + b = 4 + (–5) = –1.