Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 3 cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC tại M, cắt tia BA tại N. a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC. b) Chứng minh MA = MD và tam giác MNC cân. c) Gọi I là trung điểm của CN. Chứng minh ba điểm B, M, I thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A:

AB² + AC² = BC²

⇒ 3² + AC² = 5²

⇒ AC² = 25 - 9

⇒ AC² = 16

⇒ AC = 4 cm.

ΔABC vuông tại A nên BAC^ là góc lớn nhất trong ΔABC.

AB < AC nên ACB^<ABC^.

Vậy ACB^<ABC^<BAC^.

b) Xét ΔABM vuông tại A và ΔDBM vuông tại D có:

AB = BD (theo giả thiết)

BM chung.

⇒ΔABM=ΔDBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

⇒ MA = MD (2 cạnh tương ứng).

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔDMC cân tại D có:

AM = DM (chứng minh trên).

AMN^=DMC^ (2 góc đối đỉnh).

⇒ΔAMN=ΔDMC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

⇒ MN = MC (2 cạnh tương ứng).

ΔMNC có MN = MC nên MI⊥NC cân tại M.

c) Xét ΔBCN có CA⊥BN; ND⊥BC.

Mà CA cắt ND tại M nên M là trực tâm của ΔBCN.

Do đó BM⊥NC(1).

ΔMNC cân tại M, lại có I là trung điểm của NC nên MI⊥NC (2).

Từ (1) và (2) suy ra B, M, I thẳng hàng.

Tính giá trị của biểu thức (4a-b)/(3a+3)+(4b-a)/(3b-3) với a -b = 3; a ≠ -1; b ≠ 1.