Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B các các tiếp điểm). (a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp. (b) Kẻ đường kính BD của đư (ảnh 1)

a) MA là tiếp tuyến đường tròn (O) tại A nên MA OA

MB là tiếp tuyến đường tròn (O) tại B nên MB OB

ΔOAM vuông tại A nên suy ra O, A, M thuộc đường tròn đường kính OM

ΔOBM vuông tại B nên suy ra O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM

=> O, A, M, B thuộc đường tròn đường kính OM => tg OAMB nội tiếp

b) ΔODC cân tại O, có OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao => OE CD

Chứng minh ΔDEO ⁓ ΔDBM (g-g)

=> DE.DM = DO.DB

Mà DO = R; DB = 2R => DE.DM = 2R²

c) ΔOEM vuông tại E => E thuộc đường tròn đường kính OM

Chứng minh \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{ABM}}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (1)

Chứng minh ΔDEK và ΔDAK lần lượt vuông tại E và A để suy ra tg AKDE nội tiếp

Chứng minh \(\widehat {{\rm{DKA}}} = \widehat {{\rm{AEM}}}\) (cùng bù với góc DEA) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{\rm{DKA}}} = \widehat {{\rm{ABM}}}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên KD // BM

Lại có BM BD nên suy ra KD BD

Mà KD là đường kính đường tròn (O) nên suy ra KD là tiếp tuyến đường tròn (O)

Tính giá trị biểu thức sau: A=√12+√(2√3−5)^2+3√−27