Tính giá trị biểu thức S = (a + b)(b + c) (c + a)/abc

Trường hợp 1: \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\) hay \(a + b =  - c;\,\,a + c =  - b;\,\,b + c =  - a\) thay vào biểu thức \(S\), ta được:

\(S = \frac{{\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} =  - 1\).

Trường hợp 2: \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{c + b + a}} = 1\).

Suy ra \(a + b - c = c;\,\,c + a - b = b;\,\,b + c - a = a\).

Do đó \(a + b = 2c;\,\,c + a = 2b;\,\,b + c = 2a\).

Thay \(a + b = 2c;\,\,c + a = 2b;\,\,b + c = 2a\) vào biểu thức \(S\), ta có:

\(S = \frac{{2a\,\,.\,\,2b\,\,.\,\,2c}}{{abc}} = 8\).

Vậy \(S =  - 1\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\);

\(S = 8\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).