Tính giá trị biểu thức M = x^5– 6x^3 + x tại x=(3+căn 2) / (2căn2−1).

Ta có: \[x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{8 - 1}} = \frac{{7\sqrt 2 + 7}}{7} = \sqrt 2 + 1\]

\[ \Rightarrow x = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow {x^2} = 3 + 2\sqrt 2 \]

Ta có: \[{x^3} = x.{x^2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = 5\sqrt 2 + 7\]

\[ \Rightarrow {x^5} = {x^2}.{x^3} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 7} \right) = 29\sqrt 2 + 41\]

Thay x⁵, x³ và x vào biểu thức M, ta được:

\[M = 29\sqrt 2 + 41 - 6\left( {5\sqrt 2 + 7} \right) + \sqrt 2 + 1 = 29\sqrt 2 + 41 - 30\sqrt 2 - 42 + \sqrt 2 + 1 = 0\]

Vậy tại \[x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\] thì giá trị của M là 0