Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC,K là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AM. (a) Chứng minh tứ giác CEFB là tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)

a) Ta có \(BE \bot AC \Rightarrow \Delta EBC\) vuông tại \(E\)\( \Rightarrow \)\(E,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (1)

Ta có \[CF \bot AB \Rightarrow \Delta FBC\] vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \)\(F,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(C,\)\(E,\)\(F,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn, hay tứ giác \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AFE}.\) (3)

Mà \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AFE}\)(cùng bù với \(\widehat {BFE}\)) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}.\)

Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AHKE\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AKE}.\) Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}\)(theo chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AKE}.\) (5)

Mặt khác: \(EM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(BEC\) nên \(ME = \frac{{BC}}{2} = MC\)\( \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {MEC}.\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MKE}\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{ME}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Rightarrow M{E^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow B{C^2} = 4MA \cdot MK.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PN\) và \(EQ.\)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC,K là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AM. (a) Chứng minh tứ giác CEFB là tứ giác nội tiếp. (ảnh 2)

Ta có \(\widehat {ANE} = \widehat {AES}\)(cùng phụ với \(\widehat {EAN}\))\( \Rightarrow \widehat {CES} = \widehat {BNA}.\) Kết hợp với \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)suy ra

\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CS}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{2BP}} = \frac{{CE}}{{2CQ}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{{CE}}{{CQ}}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} = \widehat {BNP} = \widehat {ENI}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} + \widehat {QEN} = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow 90^\circ = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow \widehat {NIE} = 90^\circ \Rightarrow PN \bot EQ.\)

Tính giá trị biểu thức A = √ 18 + √ 100 − 3 √ 2 .