Tính giá trị biểu thức 20 a − 15 b .

19/20

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), một đài kiểm soát không lưu đặt ở gốc tọa độ \(O\), đơn vị trên mỗi trục là kilômet. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 5;5} \right)\) và \(B\left( {2;6} \right)\). Biết rằng khi máy bay đến vị trí điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thì máy bay gần trạm kiểm soát không lưu nhất. Tính giá trị biểu thức \(20a - 15b\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

c (ảnh 1)

Máy bay \(M\) chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\) nên ta có \(M,A,B\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 5;b - 5} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {7;1} \right)\) cùng phương.

Khi đó, ta có \(\frac{{a + 5}}{7} = \frac{{b - 5}}{1} \Leftrightarrow a - 7b = - 40\) (1).

Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là \(OM\), \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\) hay \(\overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow {AB} \) \(\left( {M \equiv H} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow 7a + b = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 7b = - 40\\7a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{5}\\b = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(20a - 15b = - 100\).

Đáp án: −100.