Tính độ dài đoạn A B sao cho hình chữ nhật A B C D có diện tích lớn nhất.

Gọi \(O\) là tâm hình bán nguyệt, đặt \(x = OB\) với \(x > 0.\)

Xét \(\Delta OBC\) vuông tại \(B,\) theo định lý Pythagore, ta có:

\(O{C^2} = O{B^2} + B{C^2},\) suy ra \(BC = \sqrt {O{C^2} - O{B^2}} = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\)

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là:

\(S = AB \cdot BC = 2x \cdot \sqrt {{R^2} - {x^2}} = 2\sqrt {{x^2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} \)\( \le {x^2} + \left( {{R^2} - {x^2}} \right) = {R^2}\) (Bất đẳng thức Cauchy).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = {R^2} - {x^2}\) hay \[x = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} = \frac{{20 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 10\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng \({R^2}\) khi \(AB = 2 \cdot 10\sqrt 2 = 20\sqrt 2 \) (cm).