Tính diện tích tam giác IAB ta được kết quả là

13/35

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A,B\). Tính diện tích tam giác \(IAB\) ta được kết quả là

\(\frac{{8\sqrt {11} }}{3}\).

\(\frac{{16\sqrt {11} }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {11} }}{6}\).

\(\frac{{8\sqrt {11} }}{9}\).

Giải thích

Lời giải

Tính diện tích tam giác IAB ta được kết quả là (ảnh 1)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;0; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\sqrt 2 \).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(d\).

Khi đó: \(IH = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\), với \(\overrightarrow {IC} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\).

Vậy \(IH = \frac{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\). Suy ra \(HB = \sqrt {18 - \frac{{22}}{3}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {66} }}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 6 }}{3} = \frac{{8\sqrt {11} }}{3}.\) Chọn A.