Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2+ x + | x+ 1| /x

Ta có: \(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + |x + 1|}}{{x(x + 1)}}\)

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} =  - 1\).