Tính đạo hàm của F(x) = ln(x + căn x^2 +1 . Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)= 1/ căn x^2 +1 .

Có \(F'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]^\prime }\)\( = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \frac{{1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Do đó \(\int {f\left( x \right)} = \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C\).