Tính D = 1^4 + 2^4 + 3^4 + … + n^4.

D = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + … + n⁴

Ta xét: u⁵ – (u – 1)⁵ = 5u⁴ – 10u³ + 10u² – 5u + 1

Khi đó:

1⁵ – 0⁵ = 5.1⁴ – 10.1³ + 10.1² – 5.1 + 1

2⁵ – 1⁵ = 5.2⁴ – 10.2³ + 10.2² – 5.2 + 1

….

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng từng vế với vế ta được:

1⁵ – 0⁵ + 2⁵ – 1⁵ + … + n⁵ – (n – 1)⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + … + n⁴) – 10(1³ + 2³ + … + n³) + 10(1² + 2² + … + n²) – 5(1 + 2 + … + n) + n

⇔ n⁵ = 5.D – 10(1³ + 2³ + … + n³) + 10(1² + 2² + … + n²) – 5(1 + 2 + … + n) + n