Tính cosin góc giữa hai đường AC và SD .

23/50

Tính cosin góc giữa hai đường $AC$ và $SD$.

$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

$\frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

$\frac{{2\sqrt 3 }}{5}$.

$\frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Giải thích

$Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{ (ảnh 1)$

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kẻ $ON//SD \Rightarrow N$ là trung điểm $SB$.

$ \Rightarrow \left( {AC,SD} \right) = \left( {AO,ON} \right) = \widehat {AON}$.

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ ta có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 $.

$ \Rightarrow NO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ vì $NO$ là đường trung bình của $\Delta SBD$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến

$ \Rightarrow AN = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\Delta ABC$ đều $ \Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \frac{a}{2}$.

Xét tam giác $AON$ có: ${\rm{cos}}\widehat {AON} = \frac{{N{O^2} + A{O^2} - N{A^2}}}{{2 \cdot NO \cdot AO}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$. Chọn B.