Tính cosin góc giữa hai đường AC và SD?

3/235

Tính cosin góc giữa hai đường \(AC\) và \(SD\)?

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Lời giải

Tính cosin góc giữa hai đường AC và SD? (ảnh 1)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(ON//SD \Rightarrow N\) là trung điểm \(SB\)

\( \Rightarrow \left( {AC,SD} \right) = \left( {AO,ON} \right) = \widehat {AON}\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow NO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) vì \(NO\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(AN\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác \(AON\) có: \({\rm{cos}}\widehat {AON} = \frac{{N{O^2} + A{O^2} - N{A^2}}}{{2.NO.AO}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)