Tính cosα, trong đó α là góc nhị diện [S, BC, A].

9/20

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Tính cosα, trong đó α là góc nhị diện [S, BC, A].

\(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giải thích

Tính cosα, trong đó α là góc nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì SC = SB và SC ^ SB nên DSBC vuông cân tại S Þ SI ^ BC (1)

Vì SA ^ SB, SA ^ SC nên SA ^ (SBC) Þ SA ^ BC (2).

Từ (1) và (2) Þ BC ^ (SAI) Þ BC ^ AI (3).

Từ (1) và (3) suy ra \(\widehat {SIA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét DSBC có \(BC = \sqrt {S{A^2} + S{B^2}} = \sqrt 2 \) mà SI là đường trung tuyến trong tam giác vuông SBC.

Suy ra \(SI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét DSAI vuông tại S có \(AI = \sqrt {S{A^2} + S{I^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{SI}}{{AI}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}:\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).