Tính cos α .
12/34
Cho tứ diện \[S.ABC\]có các cạnh \[SA,\,SB,\,SC\]đôi một vuông góc và \[SA = SB = SC = 1\] (minh họa như hình dưới). Gọi \[\alpha \]là góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]. Tính \[\cos \alpha \].
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
Gọi là trung điểm cạnh \(BC\) suy ra \(SD \bot BC\) (vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\)).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(SD \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SD \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right.\]\( \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SDA} = \alpha \).
Xét \[\Delta SBC\] vuông tại \[S\] ta có: \(\frac{1}{{S{D^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = 2 \Rightarrow SD = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Xét \[\Delta SAD\] vuông tại \[S\] ta có: \(A{D^2} = S{A^2} + S{D^2} = {1^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow AD = \sqrt {\frac{3}{2}} \).
Vậy \(\cos \alpha = \cos \widehat {SDA} = \frac{{SD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn B.