Tính chiều cao h (đơn vị: mét) tối đa tính từ đỉnh cầu đến mặt đường (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất).

Đáp án đúng là "17,6"

Phương pháp giải

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của đồ thị hàm số bằng giá trị đạo hàm của hàm số đó tại điểm \({x_0}\).

Lời giải

​

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm \(AB\), tia \(Ox\) trùng với tia \(OB\), tia \(Oy\) hướng lên phía trên (phía đỉnh cầu vượt) như hình vẽ.

Ta có \(A\left( { - 200;0} \right);B\left( {200;0} \right)\).

Đỉnh cầu vượt có tọa độ là \(\left( {0;h} \right)\).

Phương trình Parabol của cầu vượt là \(\left( P \right):y =  - \frac{h}{{40000}}{x^2} + h\).

Ta có \(y' =  - \frac{h}{{20000}}x\)

Do đó hệ số góc tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(k =  - \frac{h}{{20000}}{x_0}\).

Do tính chất đối xứng của \(\left( P \right)\), ta chỉ xét \(200 \le {x_0} \le 0\). Khi đó \(k =  - \frac{h}{{20000}}{x_0} \ge 0\).

Gọi \(\alpha \) là độ dốc của mặt cầu vượt. Khi đó \(k = \left| {{\rm{tan}}\alpha } \right| = {\rm{tan}}\alpha \).

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá \({10^ \circ }\) nên ta có \(\alpha  \le {10^ \circ } \Rightarrow {\rm{tan}}\alpha  \le {\rm{tan}}{10^ \circ }\).

Do đó \(k \le \tan {10^ \circ } \Rightarrow  - \frac{h}{{20000}}{x_0} \le \tan {10^ \circ } \Rightarrow h \ge \frac{{20000.\tan {{10}^ \circ }}}{{{x_0}}}\) (*)

Mà \(200 \le {x_0} \le 0\) nên từ (*) ta suy ra \(h \le \frac{{20000.{\rm{tan}}{{10}^o}}}{{200}} \approx 17,6\).